Как наследник может доказать, что проживал с умершим? Как открыть дело для доказательства совместного проживания?

даже и не пытайся, посадят за некрофилию!!!

Для открытия наследственного дела факт совместного проживания доказывать не нужно. Жена идет к нотариусу со свидетельством о смерти отца, своим свидетельством о рождении и своим паспортом, а также со свидетельством о браке, если фамилия менялась, пишет там заявление о принятии наследства и наследственное дело открывается нотариусом.
Доказательства совместного проживания могут понадобится для освобождения от госпошлины за выдачу свидетельства о праве на наследство. Совместное проживание с умершим на день его смерти подтверждается справкой по установленной форме, но вашей жене факт совместного проживания нужно будет доказывать в суде. Можно и не доказывать, просто тогда пошлину заплатит 0, 3% от стоимости наследственного имущества.
Пы. Сы. А для обращения в суд нужно обратиться к юристу очно. Составление заявления для обращения в суд-платно.