Может ли студент заочник первого курса работать воспитателем в детском саду с 1 разновозрастной группой 4 подгруппы

Нет. Если окончил педколледж и учится в ВУЗе -- может.

Может, если администрация заключит с ним трудовой договор.
На усмотрение администрации
Особенно, если в наличии дефицит кадров

При совершенолетии и с наличием документа подтверждающего что мы получили спец. образ. по работе с детьми!

Зависит от того, в каком ВУЗе учится студент заочник? И от того? какое у него уже есть образование. И судя по тому, что группа разновозрастная - д/с или малокомплектный или частный. В частный могут взять по договору.
Если очень нужна работа именно в этом месте, то можно закончить курсы онлайн (достаточно быстро и относительно недорого). Свидетельство или диплом официальные, государственного образца. На сайте infourok.ru

Если нет диплома о дошкольном образовании то нет, не может. Закон об образовании 13 г.

может, справку с места учебы попросят и все

При желании, я думаю, возьмут. Могу дать ссыль сада, пообщайся с консультантами - [ссылка заблокирована по решению администрации проекта]