Почему предел последовательности 1/n равен 0, а не 0.2 например. Откуда получился 0?

Question

Почему предел последовательности 1/n равен 0, а не 0.2 например. Откуда получился 0?

Алексей Смирнов Гуру (2542), на голосовании 7 лет назад

Answer 1

Alexander Alenitsyn Высший разум (760657) 7 лет назад

Потому что n возрастает неограниченно: 1,2,3,4,5,...10,..,1000,...100000,...
соответственно 1/n убывает неограниченно, приближаясь к 0:
1,1/2,1/3,1/4,1/5,...1/10,...1/1000, ..1000000,...
И эта дробь станет меньше любого положительного числа, в том числе меньше 0,2

Алексей СмирновГуру (2542) 7 лет назад

Каким тогда должен быть алгоритм вычисления предела? К примеру для компьютера... Перебирать все члены последовательности до некоторого значения N? Но как компьютер сможет определить, что последовательность стремится к 0?

Alexander Alenitsyn Высший разум (760657) Такой перебор ничего не даст. В компьютерный математический пакет заложены некоторые стандартные пределы, а также процедура преобразования более сложных выражений в более простые. Поэтому пакет умеет вычислять некоторые пределы. Например, он знает, что sin x / x --> 1, когда х стремится к 0.

Answer 2

Ирина Лебедева Оракул (83566) 7 лет назад

Действительно, lim(0.2 + 1/n)=0,2, а вот lim(0.2 + 1)/n = 0.
Так, как записано у Вас, получаемся, что к константе 0,2 Вы прибавляете дробь 1/n. Предел 1/n при n стремящемся к бесконечности равен 0, а предел константы равен самой константе.

Алексей СмирновГуру (2542) 7 лет назад

Если я сейчас всему миру объявлю, что предел последовательности 1/n = 0.2, а не 0? Ведь по определению | Xn - a | < e, берем Xn = 0.2 (при n=5), a = 0.2, получается: | 0,2 - 0.2 | < e, т. е. 0 меньше любого эпсилон. Почему 0, а не 0.2 тогда?

Ирина Лебедева Оракул (83566) В определении предела сказано, для любого, сколь угодно малого положительного числа. Вы берете е, а я беру 0,1 - и всё, Ваше решение уже неверно.