Ключ от города. Для чего дарят ключ? Что это обозначает?

То что человеку открыты двери в любые кабинеты наверное

Это значит что власть над городом передается.
Раньше были свободные города - они огораживались стеной, и у них были главные ворота города, ключ от них был у бургомистра (мэра) и он закрывал двери по вечерам чтобы ночью никто не шастал.

чтобы не стучал каждый раз в городские ворота при входе и выходе.

Заходи и бери чего хочешь...