1 Какой цифрой не может оканчиваться квадрат натурального числа?
2 в каких случаях квадрат натурального числа является чётным числом ?
3 какими цифрами оканчиваются кубы последовательных натуральных чисел? В какой последовательности повторяются эти числа?
1) 2; 3; 7
2) когда само число чётное
3) 1; 8; 7; 4; 5; 6; 3; 2; 9; 0
1) n принадлежит множеству N (натуральный чисел)
m принадлежит множеству целых [0,..9]
Любое целое число можно представить в виде 10n+m
(10n+m)^2=100n^2+20n*m+m^2
100n^2+20n*m=10*(10n^2+2n*m) заканчивается на 0, поскольку n и m целые
То есть квадрат любого целого числа может оканчиваться лишь цифрами которыми оканчиваются квадраты чисел от 0, до 9. 0^2=0 1^2=1 2^2=4 3^2=9 4^2=16 5^2=25 6^2=36 7^2=49 8^2=64 9^2=81
То есть множество окончаний квадратов [0, 1, 4, 5, 6, 9]. Значит он не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8.
3) делаем как и 1) только с (10n+m)^3
2) (10n+m)^2=100n^2+20n*m+m^2, поскольку 100n^2+20n*m =2*5(10n^2+2n*m) четное. То четность квадрата совпадает с четностью квадрата последнего его разряда. А четность квадрата последнего разряда указывает на четность числа. Это можно увидеть если посмотреть чему равны квадраты чисел от 0 до 9. Значит если квадрат натурального числа честный, то и число четное.
2 3 7
7