Найти наименьшее натуральное число, оканчивающееся цифрой p, которое увеличивается в k раза при перенесении его...
...последней цифры в начало числа; p>= k.
ДополненМного лет назад я попытался решить эту задачу и пришёл к такому выводу (не помню, обосновал ли его строго или нет): искомое число - это период дроби р/(10к-1), представленной в 10-ричной системе. При этом число цифр В НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ получается равным 10к-2 (например, 18 при к= 2, 58 при к= 6).
10^n < x < 10^(n+1)
Тогда
y = (x - p)/10 + p*10^n = x/10 + p*(10^n - 1/10)
y = k*x
k*x = x/10 + p*(10^n - 1/10)
(10*k - 1)/10 * x = p*(10^n - 1/10)
x = (10*p)/(10*k - 1) * (10^n - 1/10) = p/(10*k - 1) * (10^(n+1) - 1)
Если p и (10*k - 1) не взаимнопростые числа, то следует вынести общий множитель за дробь:
p/(10*k - 1) * (10^(n+1) - 1) = l*((p/l) / ((10*k - 1)/l)) * (10^(n+1) - 1)
Дальше всё как и в прошлый раз (10^(n+1) - 1) должно нацело делиться на ((10*k - 1)/l), а значит при делении 10^(n+1) на ((10*k - 1)/l) получим остаток 1. Разумеется можем выполнить операцию деления в столбик и остановиться на шаге, где в остатке получится 1. Так найдём значение n. p и k даны по условию задачи, а значит мы можем найти x по вышеуказанной формуле
x = p/(10*k - 1) * (10^(n+1) - 1)
это число 142857. 714285=5*142857.
А что ж основание системы счисления не задали какой-нибудь буквой?