Помогите найти наименьшее значение функции y=8x/x^2+1

Такие задачи лучше грузите на сайт:
Помощь в решении задач студентам и школьникам

По-моему - там такое решают.

можно просто через производную частного;
(8(х²+1)-8х·2х) /(х²+1)²=0; -8·(х²-1)/(х²+1)²=0; (х-1)(х+1)=0; х1=-1; х2=1;

могу так попробовать решить
у=8 / (х +1/х),
положительные значения х +1/х нас не интересуют;
f=х+ 1/х; f'=1 -(1/х²)=(1 -1/х) (1+ 1/х) =0 при х=±1;
f''=2/х³, f''<0 при х=-1 локальный максимум,
(только если будете искать этот максимум, то надо делать так, как вас учили в школе)
соответственно, минимальное значение у=8/(х +1/х)
будет при максимальном значении х +1/х, при х=-1
у min=8/(-1-1)=-4