Математические нормы (проверить 2 задачи)

Здравствуйте, помогите пожалуйста провести работу над ошибками и уточнить некоторые моменты по этим двум задачам. Поправьте меня если я где то что то неправильно понял или решил. (И объясните подробнее если не трудно)

Для начала первая:
1) Пространство С [a,b] - является бесконечномерным функциональным пространством.
2) Нормой в данном пространстве является функция имеющая соответствующее ей число.
3) Для того, чтобы проверить является ли функция нормой - нужно проверить 3 аксиомы норм.
4) 1 аксиома: ||x||>=0, при том ||x||=0, только при x=0.
Подставим нашу функцию и получим |u(a)| >= 0, неравенство верно, т. к. модуль числа всегда положительный.
5) 2 аксиома: ||zx||=|z|*||x||, где ||x||-наша норма, а z - скаляр.
Подставим и получим z|u(a)|=|z|*|u(a)|, |z*(u(a))|=|z|*|u(a)|. Неравенство верно, так как даже если представить скаляр как отрицательное число, то |-z*(u(a))| <=> z*(u(a)), то есть z*(u(a)) <=> |z|*|u(a)|
6) 3 аксиома: ||x+y||=||x||+||y||, где ||x|| и ||y|| - нормы пространства (то есть функции). Тут у меня возникла проблема. В данной задаче мы за норму ||x|| берем функцию f(u)=|u(a)|. Но требуется ли нам что либо подставить вместо нормы ||y|| ? И будет ли зависеть выражение от того, будет ли норма ||y|| положительной или отрицательной?
__________________________________________________________

Вторая задача:
1) L₂ - гильбертово векторное пространство над полем вещественных чисел.
2) Нормой в нем является скалярное произведение векторов пространства, выраженное числом.
3) Функционал F(u) - скалярное произведение векторов x и u(x). Где u - вектор пространства L₂
4) По неравенству Коши-Буняковского:
Так как u - вектор L₂, то ||u|| - норма скалярного произведения.
Из чего получаем ||u||=sqrt(u, u), при любых u принадлежащих L.
Тогда |(u,x)| <= ||u|| * ||u||
5) Из написанного выше насколько я понимаю во второй задаче нормой функционала является норма ||u||, при условии что Неравенство Коши выполняется.