Как узнать площадь неправильного 4-угольника, если известны только длины сторон?
Никак. При одинаковых длинах сторон углы могут быть разными, соответственно и площадь разная.
Я не силён в геометрии, но рассуждаю так:
1. Любой четырёхугольник не является жёсткой фигурой. Т. е. если есть треугольник, стороны которого известны, то с данными размерами может существовать только один треугольник с неизменными параметрами - углами, периметром и площадью.
2. Четырёхугольник с любыми сторонами может быть разной формы в зависимости от величины углов. И каждая из таких фигур будет иметь различную площадь.
3. Раз с одинаковыми длинами сторон может быть несколько фигур, я уверен что только зная длины сторон вычислить площадь невозможно...
Нужен хотя бы еще один угол. Тогда это дело можно будет попилить на 2 треугольника и использовать теорему косинусов и формулу Герона. А без угла не получится.
В сформулированном виде имеем множество решений, т. к. четырехугольники могут быть разными.
Но можно изучить это множество. Можно провести одну диагональ, обозначить ее длину как х, например. Затем записать формулу площади четырехугольника, зависящую от х по формуле Герона. В эту формулу войдут длины сторон, как параметры.
Затем исследовать полученную функцию на возрастание-убывание, глобальный максимум через нахождение производной, с учетом области определения и тогда можно будет, например, сделать выводы о максимальной и минимальной площади и ее поведении при изменении длины диагонали.
Там, наверное, нужно будет еще учесть ограничения на возможные значения параметров и область определения для длины диагонали. Скорее всего, получится выразить область определения как функцию параметров - от 0 до наименьшей суммы из двух пар смежных сторон, лежащих по одну сторону от диагонали.
Возможно нужно будет отметить, что мы рассматриваем только выпуклые четырехугольники... Для конкретного набора сторон скорее всего задача будет решаться довольно просто.
У него, очевидно, должна быть максимальная площадь. И определить её было бы, наверное, даже любопытной задачкой. Но я уже много лет не практиковался в геометрии и не потяну...
