Как скоро обязан наследник зарегистрировать наследную квартиру квартиру в регпалате?

По общему правилу наследство может быть принято в течение шести месяцев со дня открытия наследства.
А подробнее вот http://all-pravo.ru/spory/srok.html

Нет ограничений, хоть через 10 лет. Главное платить ЖКУ

После получения свидетельства у нотариуса! Когда сможет, тогда и сходит в регпалату .

Главное вступить в наследство у нотариуса, а оформить право собственности по желанию, хоть через.... лет

не обязан
продать только не сможет без посещения Росреестра

Сделки с недвижимостью не произведёте и регистрацию не оформите.

Законом никаких ограничений по срокам не установлено, но до тех пор, пока вы ее не зарегистрируете, никаких действий с этой квартирой вы производить не сможете.