Для чего нужны скалярные и векторные произведения векторов.

для математики
векторное произведение
Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения

Это инварианты, которые не зависят от смены системы координат. Следовательно, имеют фундаментальное значение для приложений: ведь систему координат можно принять любую, от этого ничего в природе не может зависеть.

Скалярные произведения нужны почти всегда.... Векторные - чуть реже, но тоже нужны..
Пример задачи на скалярное произведение: Нужно вычислить энергию, выделившуюся при падении тела массой М на землю с высоты Н.
Формула Е=МgН вроде бы всем известна, Вот только там g и Н - то векторы, а энергия - скаляр.. Так же и для кинетической энергии Е=МV^2/2 - тут скалярный квадрат вектора скорости определяет скалярную энергию

Что б зачет получить))

Много для чего, особенно скалярные. Они вылезут еще много где, помимо школьных курсов физики и геометрии.
Например, в рядах Фурье или, например, в ковариации случайных величин.

Просто в школе вам показывают такие примеры, которые вы готовы понять.