Что значит слово Farewell? Какое смысл у этого слова и когда его можно применять ?

Farewell это довольно-таки возвышенная форма прощания, несущая в себе оттенок законченности отношений с чем-либо. Если вы употребляете её в отношении человека, то ожидается, что больше вы с ним не увидитесь. На русский её обычно можно передать через "прощай!"

Например:
President Obama teared up while addressing Michelle in his farewell speech - Президент Обама прослезился, обращаясь к своей жене Мишель во время прощальной речи.
She made a farewell performance at the opera - Она провела своё прощальное выступление в опере.
He said farewell to his old job - Он сказал "прощай" своей старой работе.