Если курсант отчислился после первого курса военного института, дадут возможность летом поступить в гражданский вуз?

нет. ждёт служба

Сейчас призыв уже закончился, так что поступай на здоровье, но только после того, как срочку дослужит.

Поступать только после увольнения со срочной службы.

Сначала придется отслужить срочную службу.

Поступить может, но- права на отсрочку от призыва уже не будет
Ему нужно будет дослужить ещё 6 месяцев в соответствии с
Указом Президента РФ от 16.09.1999 N 1237 (ред. от 05.07.2017) "Вопросы прохождения военной службы"

После отчисления из военного училища, бывшему курсанту ещё служить срочником полгода.
А во после дембеля может идти и поступать куда хочет.