Имеет ли смысл учить японский, используя только ромадзи? Какую из трёх азбук следует учить? По какому учебнику и сколько

не важно имеет или нет. у тебя не получится. как и не получится учить его без иероглифов. даже если попытаешься - со временем сам прийдешь к осознанию крайней необходимости их изучения. так что, как уже ответили выше, садись за хирагану. есть 2 простых способа достаточно легкого их изучения.
первый - онлайн тренажоры, в которых тебе дают либо символ хираганы либо его транскрипцию, а ты должен ввести или выбрать из списка другое.
второй - если будешь вести тетрадный словарь - пиши в него слова сразу хираганой, по началу можешь распечатать таблицу и подсматривать в нее при записи или чтении, но буквально пары страниц заполненой таким образом хватит, чтобы запомнить большинство символов.

разумеется прежде чем начать в таком духе, имеет смысл посидеть над табличкой хотябы полчасика пытаясь запомнить хоть что-то методом тупой зубрежки (не обязательно идеально, чисто для первого ознакомления, чтобы хотябы половину символов начал узнавать). и разумеется совмещение этих двух методов допустимы.

Зачем извращаться, если можно нормально учить язык, освоив хирагану и катакану? Это не так сложно. Ромадзи тоже нужно освоить в самом начале. Учить можно любыми доступными способами, это не имеет никакого значения. Сам процесс изучения алфавитов довольно быстрый, а потом нужно закреплять материал, для этого надо больше читать.