Сохраняются ли файлы на компьютере?

Как минимум в 2 местах. Когда вы просматриваете странички все что скачивается попадает во временные папки хранения (кеш). Если не стоит принудительного удаления из этих папок по окончании сеанса работы, все файлы так и остаются в этой папке, пока не дойдет очередь до новых. Посмотреть их можно в истории или прямым заходом через проводник (для каждого браузера папки одинаковые).
Даже после того, как файл был удален, он не исчезает сразу. Скорее всего, он будет лежать на диске без указания пути к нему до тех пор, как новый файл не будет записан на его место. Есть специальные программы для восстановления удаленных файлов. Возможно, файл будет частично поврежден, но часть его сохраняется еще долго. Связано это с особенностями работы файловой системы.
Кроме того, файл может оказаться в выгруженном файле подкачки. Там он хранится совсем недолго и скорее всего будет перезаписан практически сразу.

Кстати, а почему не попросить у тех, кому отправлялось? Я частенько делюсь с друзьями фотографиями. Если случайно теряю - знаю у кого попросить ;)