Директор не подписывает трудовую книжку. ее подписывает тот, кто по приказу ответственен за заполнение и хранение трудовых книжек. И это не обязательно д. б. директор.
Я когда начала работать инспектором отдела кадров, сама заполняла свою трудовую книжку с ссылкой на приказ, подписанный директором предприятия и все дальнейшие перемены согласно приказам.