Почему при переводе из 10-й системы счисления в другую надо делить на основание этой системы? Не могу интуитивно понять

Question

Почему при переводе из 10-й системы счисления в другую надо делить на основание этой системы? Не могу интуитивно понять

. Мыслитель (8359), закрыт 7 лет назад

и осознать. При переводе из других систем счисления в десятичную надо умножать каждое число на основание системы возведенное в степень, тут понятно почему именно так.

Answer 1

Вывод соответствующего правила основан на том, что в системе счисления с основанием n используется n цифр (от 0 до n - 1). При делении числа на n также может быть любой из n остатков от деления - от 0 до n - 1. Эти остатки, записанные в обратном порядке, и образуют цифры числа в новой системе счисления.

Пример. Представим, скажем, число 194, в пятеричной системе счисления. Общий алгоритм этого правила хорошо известен. Если его применить, то получится: 194:5 = 38 и остаток 4. 38:5 = 7 и остаток 3. 7:5 = 1 и остаток 2. Выписывая все остатки, начиная с частного, получим 1234.

Посмотрим на этот пример с другой стороны. 194 можно представить так: 194 = 190 + 4 = 38*5 + 4 = (35 + 3)*5 + 4 = (7*5 + 3)*5 + 4 = ((5 + 2)*5 + 3)*5 + 4 = ((1*5 + 2)*5 + 3)*5 + 4). Каждый раз число представляли в виде суммы числа, делящегося на 5, и остатка от деления на 5. Раскроем скобки:

((1*5 + 2)*5 + 3)*5 + 4) = (1*5*5 + 2*5 + 3)*5 + 4 = 1*5*5*5 + 2*5*5 + 3*5 + 4 = 1*5^3 + 2*5^2 + 3*5^1 + 4*5^0.

Как видим, получили правило перевода из пятеричной системы счисления в десятичную на этом конкретном примере. Цифры числа в пятеричной системе счисления превратились в остатки от деления на 5 промежуточных частных, начиная с исходного числа 194. Последовательное деление на основание системы как бы обратно операции возведения основания системы в степень разряда, а остатки образуют цифры, которые умножаются на последовательные степени основания системы.

Answer 2

Alexey Prochorenko Оракул (55225) 7 лет назад

потому что расчеты ведутся в десятичной системе

.Мыслитель (8359) 7 лет назад

Я спросил почему надо на основание делить. Когда наоборот из, например, двоичной надо в десятичную перевести, надо умножать. Объяснить можно так: 404↓10=4*10^2+4*10^0, по аналогии 1000101↓2=1*2^6+1*2^2+1*2^0. Тут все понятно. А почему делить не ясно.

Alexey Prochorenko Оракул (55225) вычисления (умножение, деление, сложение) производится в десятичной системе, если будешь считать по правилам другой системы, то и правила перевода изменятся

Answer 3

Игорьтек Мудрец (12041) 7 лет назад

Почитайте здесь:

Answer 4

как строится число в n-ричной системе счисления понимаете ведь?
n^0 * k₀ + n^1 * k₁ + n^2 * k₂ + n^3 * k₃ + .где k₀ k₁ k₂ k₃ - соответствующие разряды числа пронумерованные справа-налево начиная с нуля.

запишем это немного иначе:
k₀ + n*(k₁ + n*(k₂ + n*(k₃ + n*(k₄ + .))))

Значит, если мы поделим число нацело на основание системы, то получи остаток k₀, который соответствует самому правому разряду, а в частном у нас получится: (k₁ + n*(k₂ + n*(k₃ + n*(k₄ + .))))

Если теперь это частное снова поделить нацело на n, то получим остаток k₁, который является вторым знаком справа в искомом числе, а новое частное будет равно (k₂ + n*(k₃ + n*(k₄ + .)))

Если поделить это частное снова на n, то в остатке получим k₃, что является третьим знаком справа искомого числа. Ну и продолжая дальше делить на n, мы в каждой следующей операции будем получать очередной разряд числа. После чего записав их в обратном порядке (то есть именно справа-налево) мы получим число в нужной системе счисления.

Answer 5

Возьмём пример А. Титова:
194:5= 38(4)
38:5= 7(3)
7:5= 1(2)
1:2= 0(1).
Мне (наверняка и вам) абсолютно ясно, что остаток от первого деления - это число единиц в первом разряде, т. е. "в единицах". Остальное хотя и лезет в голову, но трудновато. Поэтому придерживаюсь такого правила: умею найти последнюю цифру в числе; так эту "процедуру" тупо принимаю и к последующим разрядам, до получения "0" в частном; читаю остатки снизу вверх... Вот и вам "интуитивное понимание".