Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50. Докажите, что N чётно.

Question

Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50. Докажите, что N чётно.

Вера Белова Знаток (432), на голосовании 7 лет назад

Помогите пожалуйста с логической задачкой, хочется узнать решение

Дополнен 7 лет назад

Нашла решение, но не понимаю его, объясните пожалуйста.
Обозначим через s(A) сумму цифр числа A. Из рассмотрения сложения в столбик двух чисел A и B следует, что s(A + B) ≤ s(A) + s(B), причем равенство достигается в том и только в том случае, когда при сложении нет переносов через разряд. Тем самым, из условия задачи вытекает, что при сложении 5N + 5N = 10N нет переносов через разряд, поскольку s(10N) = s(N) = 100. Но число 5N оканчивается на 5 или на 0 в случае соответственно нечетного и четного N. Первый случай отпадает, так как возникает перенос в последнем разряде.

Answer 1

Niemand Искусственный Интеллект (211445) 7 лет назад

Что конкретно непонятно? Какое предложение из приведенного решения непонятно?

Вера БеловаЗнаток (432) 7 лет назад

Не понятно, что за число А и В. Это N и 5N? Если это я поняла правильно, и верно считаю А - N, а B-5N, то не понятно начиная с этой строки: "Тем самым, из условия задачи вытекает, что при сложении 5N + 5N = 10N нет переносов через разряд, поскольку s(10N) = s(N) = 100." Почему складываются 5N и при чем тут 10N?

Niemand Искусственный Интеллект (211445) А и B – любые числа. Это просто неравенство, верное для _любых_ чисел. (Отметьте себе ещё раз, что равенство достигается, если и только если при сложении нет переносов) Это понятно? Если понятно, идём дальше. По условию задачи s(5N) = 50. Далее, рассмотрим s(5N+5N) = s(10N). Замечаем, что s(10N) = s(N), ибо к числу N просто приписали нулик справа, сумма цифр от этого не изменится. Отсюда следует, что s(5N+5N) = s(5N) + s(5N) (ибо 100 = 50+50). Имеем случай равенства, а значит, при сложении 5N+5N переносов нет. Сумма оканчивается на 0 (ибо число 10N оканчивается на 0), а значит, число 5N может оканчиваться либо на 5, либо на 0. Если на 5, то имеем перенос, а значит, этого быть не может. Итак, число 5N оканчивается на 0, откуда следует, что N четно.