Почему квадратный корень используется так часто в формулах . Что в нём такого ?

потому что его суют во все дырки
и не всегда удачно

Треугольный или круглый корень не очень удобен, поэтому квадратный )))

Ничего особенного, это просто арифметическая операция.
Всё равно что спросить: почему в формулах так часто используется сложение и умножение.
Одна из наиболее наглядных областей применения квадратного корня - теорема Пифагора, связанная с метрическим свойством пространства. Очень красивая между прочим, хотя и на первый взгляд неочевидная.
Другой пример - везде, где используется умножение некоторой величины саму на себя (например в формуле для пути при свободном падении), есть применение и квадратного корня. А это уже - следствия законов природы, описанные математически красиво, с использованием квадратного корня.

Много вещей в мире дважды зависят от одного и того же параметра. То есть от квадрата этого параметра. Например, мощность сопротивления от напряжения, ускоренный путь от времени, гравитация от расстояния, сопротивление воздуха от скорости.

Соответственно, при вычислении этого параметра используется обратная операция, то есть, квадратный корень)

К сожалению, научить среднего школьника чему-то более сложному, чем квадратный корень, довольно затруднительно.

Поэтому они вовсю используются в школьном курсе.

А так вообще полно разделов математики, где никакие корни не встречаются.