Задача про разрезание квадрата

Разобьём квадрат так, как показано на рисунке.

Меньшую сторону первого (самого маленького) прямоугольника обозначим х, большую - kx. Она же – меньшая сторона второго (среднего) прямоугольника. Большая сторона второго прямоугольника вследствие подобия равна тогда kx^2. Меньшую сторону третьего (самого большого) прямоугольника обозначим y, вторая равна тогда ky.

Из рисунка видно, что сторона квадрата с одной стороны равна x(k² + 1), с другой – kx + y, а с третьей – ky. Имеем систему двух уравнений:

x(k² + 1) = kx + y
kx + y = ky

Из первого выражаем y:

y = x(k² - k + 1),

затем подставляем во второе, сокращаем на х, переносим всё в левую часть, приводим подобные и получаем кубическое уравнение:

k³ - 2k² + k – 1 = 0,

которое по теореме Безу не имеет целых корней, а по формуле Кардано – один действительный корень и два мнимых. Действительный корень приблизительно равен 1,755.

На всякий случай сделаем проверку. Пусть меньшая сторона меньшего прямоугольника равна 1, большая тогда 1,755. Она же – меньшая второго. Большая второго – 3,080. Вся сторона квадрата – 4,080. Она складывается из большей первого (меньшей второго) и меньшей третьего. Значит, меньшая третьего равна 2,325. Если её умножить на коэффициент подобия 1,755, то должны получить всю сторону квадрата 4,080. И действительно, получаем.

Ответ: примерно 1,755