В чём отличие обозначения частной проиводной от обычной

Если обозначать частную производную так же, как и обычную, то может возникнуть несоответствие.
Поясню на простом примере, в чём оно заключается. Но сначала общие слова.

Пусть есть функция f(x, y) - функция двух переменных, причём y = g(x) - функция одной переменной. Если подставить g(x) вместо y в f(x, y), то получится функция одной переменной. От неё можно взять обычную производную по известному правилу. Если же рассматривать f(x, y) именно как функцию двух переменных, то от неё можно взять частную производную по переменной х, зафиксировав y в качестве постоянной величины. В первом случае получится df/dx, а во втором - Df/Dx. Результаты в обоих случаях могут быть различны.

А теперь сам пример.

Пусть дано f(x) = x + y, y = e^x. Найти

1) df/dx (обычную производную)
2) Df/Dx (частную производную)

Решение.

1) Подставляем e^x вместо y в x + y и получаем x + e^x. Легко найти производную этой функции. Ответ: df/dx = 1 + e^x

2) Фиксируем y в качестве постоянной величины (на зависимость y от х не обращаем внимания) и ищем частную производную функции f(x, y).
Ответ: Df/Dx = 1.

Именно, что правила взятия разные, хотя, казалось бы, похожие Неудивительно, что вышли разные результаты. Неудивительно поэтому, что и обозначения разные.

И ещё: если бы зависимость y = g(x) нам не была дана, и y был бы независимой переменной, то первое задание было бы некорректным (в ответе это можно было бы так и написать), а второе - корректным.