Существуют ли мощи святого Сергия Молчальника. И кто он на самом деле?

Мощей такого святого не существует.

Молча́льник (др. -греч. ἡσυχαστής; лат. silentiarius) — христианский святой из числа преподобных, избравший особый вид подвига — непрерывное молчание, принявший обет молчания.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Молчальник

У Сергия Радонежского был ученик, которого он благословил на этот подвиг, Исаакий Молчальник.

Обо всех молчальниках можно прочитать здесь :

http://prichod.ru/parishioners-on-the-feasts/13280/