Вопрос про больничный лист на ребенка.

Придется таскаться жене, или Вам, или няню наймите для сопровождения.
Больничный лист в данном случае не положен.

Раз отказал, значит такой возможности нет...

Если врач отказал. значит нет причины для больничного!

Лист нетрудоспособности выдается при заболевании, а не при нехватке времени

ребенок ЗДОРОВ, б\л по уходу за ним не положен, так что отказали вам вполне правомерно
вы можете взять на работе отпуск за свой счет "по семейным обстоятельствам

В соответствии с п. 34 Порядка выдачи листков нетрудоспособности, утвержденного Приказом Минздравсоцразвития России N 624н, выдача листков нетрудоспособности производится родственнику, который непосредственно осуществляет уход за больным. Из абз. 3 ст. 14 Семейного кодекса РФ следует, что к родственникам относится и отец.
Для назначения и выплаты пособий по временной нетрудоспособности застрахованное лицо, согласно ч. 5 ст. 13 Федерального закона N 255-ФЗ "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством", представляет листок нетрудоспособности, выданный медицинской организацией по форме и в порядке, которые установлены федеральным органом исполнительной власти.
При этом следует отметить, что оплачивается весь период ухода за больным ребенком в возрасте до семи лет вне зависимости от его нахождения на амбулаторном или стационарном лечении. Однако установлен предельный срок пребывания на больничном, он составляет 60 дней в году по всем случаям ухода за этим ребенком, а в случае заболевания ребенка, включенного в перечень заболеваний, определяемый федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере здравоохранения, - не более 90 календарных дней в календарном году по всем случаям ухода за этим ребенком в связи с указанным заболеванием (ст. 6 Федерального закона N 255-ФЗ). Таким образом, работодатель не должен требовать предоставления доказательств, связанных с невозможностью матери ухаживать за болеющим ребенком, так как основанием для назначения и выплаты страхового обеспечения застрахованному лицу является наступление документально подтвержденного страхового случая, то есть предъявление работником больничного листа. В соответствии с вышеизложенным отец ребенка может обратиться в медицинскую организацию за выдачей больничного листа по уходу за больным ребенком и представить его для оплаты работодателю, при этом согласно ч. 3 ст. 7 Федерального закона N 255-ФЗ пособие выплачивается: при лечении ребенка в амбулаторных условиях за первые 10 календарных дней - в размере, определяемом в зависимости от продолжительности страхового стажа застрахованного лица, за последующие дни - в размере 50% среднего заработка; при лечении ребенка в стационарных условиях - в размере, определяемом в зависимости от продолжительности страхового стажа застрахованного лица.