Каким мобильным оператором воспользоваться в Мексике для интернета?

Вы собираетесь пользоваться интернетом в роуминге..? Подумайте хорошенько - стоимость интернета в роуминге в сотни (!) раз дороже, чем в домашней сети. В судебной практике есть случаи, когда оператор взыскивал с абонента по несколько миллионов рублей за пользование интернетом на территории другой страны.
Самый оптимальный вариант - по прилету купить симку местного оператора.

По поводу вашего роуминга в Тае - телефон и не будет видеть российского оператора. Он подключается к местному оператору, с которым у мегафона заключен договор на предоставление роуминговых услуг. А подключение к интернету в роуминге может блокироваться настройками самого телефона, чтобы обезопасить вас от необдуманных трат.

При чем тут отдых в России ?

Я пользовалась программой Hangouts -
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.google.android.talk&hl=en