Помогите решить задачу

2.3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 81

P (a − 3σ x < a + 3σ) = 2Φ (3) = 2 · 0.49865 = 0.9973.

Правило трех сигм. Если случайная величина под-
чинена нормальному закону, то вероятность ее откло-
нения от математического ожидания больше трех сред-
них квадратичных ошибок, близка к нулю (p = 0.0027). Или
практически достоверно, что нормальная случайная вели-
чина принимает значения в [a−3σ, a+3σ], так как p = 0.9973.
На практике многие случайные величины распределе-
ны нормально или почти нормально. Например: ошибки
возможных измерений; ошибки стрельбы, наведения; от-
клонение напряжения в сети от номинала; суммарная вы-
плата страхового общества за большой период; дальность
полета снаряда; частота события при большом числе опы-
тов; масса вылавливаемой рыбы одного вида; рост мужчин
(женщин) одного возраста и национальности.

2.3.6 Решение задач
Задача. 2.3.1 Вероятность того, что частица, вылетев-
шая из радиоактивного источника, будет зарегистриро-
вана счетчиком, равна 0.0001. За время наблюдения из ис-
точника вылетело 30000 частиц. Найти вероятность то-
го, что счетчик зарегистрировал:

1. ровно 3 частицы;
2. ни одной частицы;
3. не менее 10 частиц.

Решение. По условию n = 30000, p = 0.0001. События, со-
стоящие в том, что частицы, вылетевшие из радиоактив-
ного источника, зарегистрированы, независимы; число n
велико, а вероятность p мала, поэтому воспользуемся рас-
k −λ
пределением Пуассона: Pn (k) = λ k! . Найдем λ : λ = np =
e

30000 · 0.0001 = 3 = M [X]. Искомые вероятности:
33 e−3
1. P30000 (3) = 3! = 0.224042, k = 3.

82 ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

30 e−3
2. P30000 (0) = 0! = 0.049787, k = 0.

9
3k e−3
3. P30000 (x 10) = 1 − k! =
k=0

30 e−3 31 e−3 32 e−3 33 e−3
=1− + ++ +
0! 1! 2! 3!
34 e−3 35 e−3 36 e−3 37 e−3 38 e−3 39 e−3
+ ++ + ++ =
4! 5! 6! 7! 8! 9!
= 1 − (0.049787 + 0.149361 + 0.224042+
+ 0.224042 + 0.168031 + 0.100819 + 0.050409 + 0.021604+
+ 0.008102 + 0.002701) = 1 − 0.998898 = 0.001102.

Задача. 2.3.2 В партии 5% нестандартных деталей. На-
удачу отобраны 5 деталей. Написать закон распределе-
ния дискретной случайной величины X — числа нестан-
дартных деталей среди пяти отобранных; найти мате-
матическое ожидание и дисперсию.

Решение. Дискретная случайная величина X — число
нестандартных деталей — имеет биномиальное распреде-
ление и может принимать следующие значения: x1 = 0,
x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. Вероятность нестандарт-
ной детали в партии p = 5/100 = 0.05. Найдем вероятности
этих возможных значений:

x1 =0 P5 (0) = C5 · 0.050 · 0.955
0
= 0.7737809
x2 =1 P5 (1) = C5 · 0.051 · 0.954
1
= 0.2036267
x3 =2 P5 (2) = C5 · 0.052 · 0.953
2
= 0.02143433
x4 =3 P5 (3) = C5 · 0.053 · 0.952