Когда использовать перестановку, когда сочетание а когда размещение?

Задачи выбора элементов множества.

-------------------------------------------------------------------
1. Теория

У нас есть множество А. Нам нужно из него выбрать (набрать) некоторое количество элементов - набор. Пример: набираем учеников из класса для какой-то цели.

Теперь нужно решить самое главное: порядок. Порядок элементов в наборе имеет значение или нет? Если порядок важен (т. е. иной порядок даёт иной набор), то набор называем упорядоченным, иначе - неупорядоченным.

Пример: выбираем 10 учеников для выполнения работы. Здесь порядок учеников неважен. Это неупорядоченный набор (он же - сочетание).

Пример: ставим 10 учеников в очередь в столовой. Здесь порядок важен: разные порядки - разные очереди - разные наборы. Это упорядоченный набор (он же - размещение).

Слова "размещение" и "сочетание", если вглядеться в них, подсказывают нам, есть ли порядок. Размещение (от "место") - мы размещаем элементы, т. е. даём им вполне определённые места. Поменяли местами - иное размещение. Сочетание (со-четание) - только совместное присутствие в одном наборе. Теперь взгляните ещё раз на примеры выше и прочувствуйте за ними понятия "раз-мещение" и "со-четание".

-------------------------------------------------------------------
2. Практика

На практике важно не запомить какие-то формулы, а понять суть. Тогда формулы будут сами выводиться, выводиться и, наконец, сами собой запомнятся.

Все подсчёты в подобных задачах удобно вести, имея порядок. Если он ненужен, то потом от него легко избавиться. Поэтому начнём с размещений.

Пример: ставим 10 из 20 учеников в очередь в столовой. Разберём этот пример очень подробно. Для подсчёта способов их удобно разделить на группы: скажем, по тому, кто стоит на 1-ом месте. Это любой из 20. Всего 20 групп, и способов в них поровну. Поэтому достаточно изучить одну группу, и ответ умножить на 20. Итак, пусть на 1-ом месте кто-то определённый уже стоит. Дальнейший подсчёт - тем же приёмом. Все способы разделим на группы в зависимости от 2-го места: 19 групп, способов в них поровну; найти ответ и умножить на 19. И т. д.

Вместо такого подробного и утомительного решения обычно говорят коротко: на первое место можно поставить одного из 20 учеников, на второе - одного из оставшихся 19, затем - одного из 18, и т. д., на 9-ое место - одного из 12, на 10-ое - одного из 11. Всего получается 20 * 19 * 18 * ...* 11 способов.

Вот именно этот приём и нужно запомнить. Он ключевой при решении всех задач - и при размещениях, и при сочетаниях, и при перестановках. Просто проникнитесь предыдущим абзацем. Все подсчёты в конечном счёте сводятся к нему.

Пример: выбираем (со-четаем) 10 учеников для работы. Здесь порядок неважен. Но для подсчёта удобен порядок. Поэтому вначале размещаем 10 учеников в определённом порядке: на первое место можно выбрать одного из 20, на второе - одного из 19, и т. д., на 10-ое - одного из 11. Итого, 20 * 19 * ...* 11 способов. Как теперь отбросить порядок?

Приём простой. Рассмотрим все размещения из одних и тех же учеников, т. е. отличающиеся только порядком. Их много - а сочетание им соответствует одно. Иначе говоря, между сочетаниями и размещениями существует простое соответствие: одно сочетание - много соответствующих ему размещений (пусть N). Другое сочетание - снова N соответствующих ему размещений. Так если мы разделим общее число размещений на N - как раз получим число сочетаний! Так "снимается" порядок.

Итак, сколько размещений одного состава (т. е. отличающихся только порядком)? Есть 10 определённых учеников. Сколько размещений (перестановок) из них? На первое место - один из 10, на второе - один из 9, и т. д., на 10-ое - один. Всего 10 * 9 * ...* 1 размещений (перестановок).

Ответ: 20*19*...*11 / (10*9*...*1).

(Окончание в комментарии.)