Как правильно пишется: по окончании или по окончанию? института

Правильно
По окончании — если мы говорим в контексте «после какого-либо события», тогда в конце слова пишется буква «и».
По окончании уроков мы пошли в актовый зал
По окончании работы они ушли домой
По окончании школы всем нужно выбрать профессию
По окончании первого сезона актеры дали интервью

По окончанию — если предложение строится в контексте «по признаку», тогда в конце слова пишется буква «ю».
По окончанию слова можно определить падеж
По окончанию фильма, я понял, что это только первая часть
По окончанию песни я узнал автора

По окончании фильма мы пошли домой — после того, как закончился фильм, мы пошли домой.
По окончанию фильма мы плакали — концовка фильма была такой, что мы плакали.

По окончании

правильно писать по окончании

По окончанию института:)