На день рождения к Наталье Петровне пришло несколько гостей. Оказалось, что каждый из них знаком ровно с пятью другими из приглашённых. Всех незнакомых между собой Наталья Петровна попарно представила друг другу, потратив при этом ровно одну минуту на каждую пару. Сколько человек пришло на день рождения, если представление друг другу незнакомых между собой гостей заняло у Натальи Петровны менее 20 минут?
Дополнен 6 лет назад
Можно начать с того, что у какого-то Иван Петровича-5 знакомых и 1 незнакомый Владимир Владимирович, тогда их уже 7 человек. Положим В. В знаком с 5-ю знакомыми И. П. Тогда у каждого из них появится ещё один знакомый. И так И. П и В. В. имеют по 5 знакомых. А все остальные пятеро пока только по два в этой схеме. Каждому из пятерых мы можем добавить по два знакомства (это получится). Тогда для добавления пятого знакомого каждому необходим ещё один человек, пусть будет это Татьяна Ивановна. Имеем хорошую кОмпашку. У каждого по пять знакомых и незнакомы Из пятёрки каждый с двумя и 5-ти + не знакомы ИП с ВВ, ИП с ТИ, ВВ с ТИ. На знакомство уйдёт 5+3 минуты, это меньше 20. Не знаю, как доказать, что большее число гостей не получится, чтобы соответствовали связи ЗНАКОМ-НЕЗНАКОМ условиям задачи!
Пусть n - число гостей. Посчитаем количество связей (знакомств) между гостями. Каждый знаком с 5-ю другими, т. е. число связей 5n, но так как каждую связь посчитали два раза делим это число пополам. Итого 5n/2 связей было. Так как число связей должно быть целым, то число гостей чётное, кроме того n > 5, иначе не выполниться условие знакомства с пятью другими гостями. После знакомства каждый гость знает остальных т. е. число знакомств = n*(n-1) и снова делим это число пополам. Итого n(n-1)/2 связей стало. С учетом времени на 1 знакомство получаем неравенство: n(n-1)/2 - 5n/2 < 20. Преобразуем: n^2 - 6n - 40 < 0. Решая неравенство получаем: -4 < n < 10. Но с учётом того, что n - чётное и n > 5 получаем n1 = 6, n2 = 8; Таким образом число гостей могло быть 6 человек, но тогда никого знакомить не надо было, и 8 человек, на знакомство которых ушло бы 8 минут.
Это прекрасная задача на логическое мышление, а математика это не только формулы но и красивое мышление. Кстати, в высшей математике такие задачи решаются с помощью теории графов!
Михаил Мелихов
Гуру
(2613)
Высшая математика и школьная - это две большие разницы, как говорят у них в Одессе)))))))))
Пусть n - число гостей. Посчитаем количество связей (знакомств) между гостями. Каждый знаком с 5-ю другими, т. е. число связей 5n, но так как каждую связь посчитали два раза делим это число пополам. Итого 5n/2 связей было. Так как число связей должно быть целым, то число гостей чётное, кроме того n > 5, иначе не выполниться условие знакомства с пятью другими гостями. После знакомства каждый гость знает остальных т. е. число знакомств = n*(n-1) и снова делим это число пополам. Итого n(n-1)/2 связей стало. С учетом времени на 1 знакомство получаем неравенство: n(n-1)/2 - 5n/2 < 20. Преобразуем: n^2 - 6n - 40 < 0. Решая неравенство получаем: -4 < n < 10. Но с учётом того, что n - чётное и n > 5 получаем n1 = 6, n2 = 8; Таким образом число гостей могло быть 6 человек, но тогда никого знакомить не надо было, и 8 человек, на знакомство которых ушло бы 8 минут.
Число гостей должно быть больше 6, иначе они все знакомы. Пусть гостей было х. Тогда каждый из .них не знаком с (х-6) чел. (исключаем себя и 5 знакомых). Тогда для знакомства понадобится х (х-6)/2 минут, что должно быть меньше 20.Решая неравенство, получаем, что х меньше 10. Числа 7 и 9 не подходят, так как значение выражения х (х-6)/2 должно быть целым, а тут оно дробное. Значит х=8.
Пусть n - число гостей. Посчитаем количество связей (знакомств) между гостями. Каждый знаком с 5-ю другими, т. е. число связей 5n, но так как каждую связь посчитали два раза делим это число пополам. Итого 5n/2 связей было. Так как число связей должно быть целым, то число гостей чётное, кроме того n > 5, иначе не выполниться условие знакомства с пятью другими гостями. После знакомства каждый гость знает остальных т. е. число знакомств = n*(n-1) и снова делим это число пополам. Итого n(n-1)/2 связей стало. С учетом времени на 1 знакомство получаем неравенство: n(n-1)/2 - 5n/2 < 20. Преобразуем: n^2 - 6n - 40 < 0. Решая неравенство получаем: -4 < n < 10. Но с учётом того, что n - чётное и n > 5 получаем n1 = 6, n2 = 8; Таким образом число гостей могло быть 6 человек, но тогда никого знакомить не надо было, и 8 человек, на знакомство которых ушло бы 8 минут.
Число гостей должно быть больше 6, иначе они все знакомы. Пусть гостей было х. Тогда каждый из .них не знаком с (х-6) чел. (исключаем себя и 5 знакомых). Тогда для знакомства понадобится х (х-6)/2 минут, что должно быть меньше 20.Решая неравенство, получаем, что х меньше 10. Числа 7 и 9 не подходят, так как значение выражения х (х-6)/2 должно быть целым, а тут оно дробное. Значит х=8.
них знаком ровно с пятью другими из приглашённых. Всех незнакомых между собой Наталья
Петровна попарно представила друг другу, потратив при этом ровно одну минуту на каждую
пару. Сколько человек пришло на день рождения, если представление друг другу незнакомых
между собой гостей заняло у Натальи Петровны менее 20 минут?