Как без интегрирования получить формулу объема пирамиды?
С треугольником все просто. Его можно разрезать на части из которых собрать прямоугольник. Можно ли разрезать пирамиду на части так, чтобы из кусков собрать параллелепипед. Задача, вроде школьная, но быстро решить не могу.
Разумеется, что речь идет о многранных пирамидах (без всяких кругов в основании). Все из многранников, как пирамида Хеопса.
... многоугольников, кончено.
Предлагаю такой план.
1) Можно куб разрезать на 6 равных четырехугольных пирамид с общей вершиной (основания пирамид - грани куба)
2) Каждую такую четырехугольную разрежем на две равные треугольные. Так мы сумеем дказать, что существует треугольная пирамида, объем которой равен 1/3 *S*h.
3) А дальше просто долбанем линейной алгеброй - любую другую треугольную пирамиду научимся задавать как образ "канонической" из пункта выше при линейном/аффинном преобразовании. Во сколько раз линейное преобразование изменяет объем, мы знаем, это модуль определителя его матрицы в ортонормированном базисе. Так научимся вычислять объем произвольной треугольной пирамиды.
4) Ну и под конец произвольную пирамиду просто разрежем на треугольные.
Не знаю, как сейчас, но в 50-60-е годы, когда я учился в школе, этот объём выводился, разумеется, без интеграла: три трёхугольные пирамиды складывали (одну из них, кажется, делили ещё на две части) так, что получалась призма. Этот вывод я некоторое время назад встретил и в Интернете, искать сейчас не желаю.
Пирамиды бывают у которых в основании окружность