Как решить этот интеграл по частям?

Question

Как решить этот интеграл по частям?

Лала Ученик (159), на голосовании 6 лет назад

S cos^5x * dx
U=cos^5x
Dv=dx
Du-?
V=?
Именно как найти du и v я не знаю

Answer 1

Кублен Оракул (97032) 6 лет назад

Зачем по частям? Просто заменой t=sinx dt=cosxdx ---> int(1-t^2)^2dt сводится к табличным

ЛалаУченик (159) 6 лет назад

просто преподаватель сказал именно по частям :(

КубленОракул (97032) 6 лет назад

U=cos^4(x) dv=cosxdx v=sinx du=-4cos^3(x)sinxdx
Int=sinxcos^4(x)+4int(cos^3(x)sin^2(x))dx={замена t=sinx dt=cosxdx}=
sinxcos^4(x)+4int((1-t^2)t^2)dt что-то в этом роде, а калькулятор дает совсем не похоже

Answer 2

Если возиться с решением по частям, то если U=cos^5x тогда dv= dx, это верно. Чтобы найти du надо взять производную от соs^5x. не помню как и лень смотреть. А V- это интеграл от dv. Интеграл dx=х. В итоге. Интеграл cos^5x= xсоs^5x- интеграл x dпроизводная от соs^5x Если верить калькулятору производных то (cos(x)5)' = -5sin(x)*cos(x)4
Тогда Интеграл соs^5x=xcos^5x+интеграл х d5sin(x)*cos(x)4. И как это решать я даже не знаю. Можно попробовать на оборот! dх=u тогда dv=cоs^5x. du=(dx)'=x"=0 v=итеграл соs^5x ...Похоже получим интеграл соs^5x= интегралу соs^5x,..

Answer 3

Брать этот интеграл по частям - это ошибка, или недопонимание. При нечетной степени синуса или косинуса метод стандартный. Одну степень (в данном случае косинуса) заводим под дифференциал. Получаем (cosx)^4*d(sinx)=(1-(sinx)^2)^2*d(sinx). Расписываем квадрат и получаем сумму степеней синуса с синусом под дифференциалом. Табличные интегралы вида u^n*du