КАКОЙ ЧАСТЬЮ РЕЧИ ЯВЛЯЕТСЯ СЛОВО БЫЛО:

Вдруг важное происшествие чуть было не переменило их взаимные отношения.

Слово БЫЛО в этом предложении – ЧАСТИЦА.

Частица БЫЛО в этом предложении употреблена с глаголом НЕ ПЕРЕМЕНИЛО (при глаголе есть ещё и отрицательная частица НЕ) и придаёт ему значение действия, которое началось, но в силу каких-то причин, обстоятельств было прервано или не завершилось.

В академическом словаре русского языка как раз это предложение иллюстрирует материал статьи, посвящённой частице БЫЛО.

В других словарях, тоже есть сведения о ней.
.