Доказательство (Линейная алгебра)
Доказать, что если размерность суммы двух линейных подпространств на единицу больше размерности их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение с другим.
Из формулы dim(A+B) = dim(А) + dim (B) - dim(AB), считая dim(AB) = к, получаем dim(A) + dim (B) = 2к + 1, то есть размерности А и В не могут быть равными. Учитывая, что dim(B) >= dim (AB), получаем: dim(B) = k, тогда dim(A) = k+1, dim(A+B) = k+1, ео есть размерность А равна размерности А + В и размерность В равна размерности АВ, ч. т. д.
Известна формула:
dim(A+B)=dim A+dim B - dim AB.
Обозначим размерность пересечения n, т. e. dim AB=n,
тогда по условию dim(A+B)=n+1, и из формулы получаем:
dim A+dim B=1, значит, или dim A=0, или dim B=0.
В первом случае A+B=B, во втором A+B=A, что и требовалось.