Наибольшее и наименьшее значение функции трех переменных
w= x^3+y^3-z^3 в шаре x^2+y^2+z^2<=1. в начале я нашла критическую точку, которая принадлежит замкнутой области w(0,0,0)=0. но потом надо же исследовать на границе x^2+y^2+z^2=1 а как это сделать? вот с тремя переменными возникает сложность
Вот если возникает сложность, то есть много методов, как с ней справиться.
Например, см. метод множителей Лагранжа, это аналитический метод решения задачки. Неформальное обоснование (просто для понимания) - в т. условного экстремума, если экстремум достигается на границе, градиент минимизируемой/максимизируемой ф-ции ортогонален касательной гиперплоскости, благо ограничение задано одним уравнением/неравенством.
Если хотите выпуклым анализом - то ортогонален одной из опорных гиперплоскостей.
Или, например, можно решить алгебраически:
Пусть кц (x, y, z) = x^2+y^2+z^2
Заметим, что w = x*x^2 + y*y^2 + (-z)*z^2, и потому в вашем единичном шаре и даже кубе |x| <= 1, |y| <= 1, |z| <= 1 имеем |w| <= кц, причем, в шаре имеем |w| = 1 тогда и только тогда, когда |x| = 1 или |y| = 1 или |z| = 1, а дальше уж 6 точек можно ручками перебрать.
Вы бы решили по-всякому для себя, а потом бы в тетрадке написали такое решение, которое использует изучаемый сейчас метод. Наверное, ёто метод множителей Лагранжа.