"Причем" и "притом" - слитно или раздельно: " Я-то тут при чем? При том! " ?

Написание этих слов напрямую связано с тем,
к какой части речи они относятся.

1. Это могут быть союзы (ПРИЧЁМ, ПРИТОМ)
2. Также эти слова могут являться предлогом
с местоимением, и тогда они пишутся в два слова
(при ЧЁМ, при ТОМ).

В вашем случае второе написание является верным
и полностью подходит под второй пункт правила.