Смогу ли я пройти через границу с таким паспортом

скажи мол прапустите пабратски

Скорее всего - нет...

Скорее всего пройдете, видела и не с такими летают... Но после лучше сменить.

Главное, что бы данные не повредились.

А что такого не так? Заграничный паспорт, как заграничный паспорт.
Также полностью согласен с Алекеем Смолином.
Главное, что бы данные не повредились.

только вместе с собакой...

Теоретически паспорт с повреждениями является недействительным. И по правилам Вам должны отказать в возможности поехать по такому паспорту. На практике же всё зависит от человечности конкретного офицера на контроле. Объясняйте, как есть, что это случилось буквально вчера и что времени что-то изменить уже не было.
У меня в старом паспорте у одной страницы был оторван кусок примерно 1 см на 3 см, несколько лет летала по этому паспорту, все только спрашивали, что случилось, качали головой, но всегда пропускали. Оформила новый паспорт в итоге сама, надоело переживать каждый раз :)

Собака очень не хотела, чтобы вы её одну дома оставили?
Очень вероятно, что и не пропустят. Могут пропустить наши пограничники, но тормознуть иностранные.

А первая страница целая? Если да, то шанс есть. Вам что терять, всё равно поедете в аэропорт, заодно и узнаете послезавтра.

На клей, насколько возможно. Пробуйте, у вас вариантов нет. Потом замените. Главное, чтобы наши выпустили. Сейчас ответственность за вывоз туристов, не впущенных на курорт, на авиакомпании лежит. Если наши на борт допустят, они же и вывезут в случае, если погранцы принимающей стороны развернут.
И да, как собачник прошу: не бейте пёсю, понимаю, что сложно ((