Тeoрeмa Гёдeля (o пoлнoтe и нeпoлнoтe): дoступным языкoм, пoжaлуйстa. Примeрaми из oбыдeннoй жизни

Question

Тeoрeмa Гёдeля (o пoлнoтe и нeпoлнoтe): дoступным языкoм, пoжaлуйстa. Примeрaми из oбыдeннoй жизни

Золотое небо Ученик (64), закрыт 6 лет назад

См.: wikipedia:Теорема Гёделя

Answer 1

ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ (исчисления предикатов).
Доступным языком сказать трудно об обоих теоремах. Попытаюсь, как могу.
Исчисление предикатов - это формальная логическая теория, высказывания которой ("формулы") строятся "математическим" языком, чем-то вроде языка программирования.
Например. "Если неверно, что неверно А (где А - некоторое высказывание, которое может быть истинным или ложным), то А верно" на языке ИП будет:
┐┐А►А
ИП строится таким формальным языком путём перечисления аксиом и правил вывода.
Пример аксиомы:
А⋁┐А
На русском словесном языке "А или неверно, что А"
Примером правил вывода в ИП может быть следующее:
Если А и А►В - выводимые формулы, то В - тоже выводимая формула. На языке ИП это выглядит так:

А, А►В
----------
В

(Аксиомы считаются выводимыми по определению).
ТГ о полноте гласит: Всякая тождественно истинная формула ИП (т. е. истинная при любых значениях входящих в неё переменных), выводима в ИП.

ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ (формальной арифметики)
Формальная арифметика строится добавлением к аксиомам ИП аксиом арифметики, записанных формальным языком.
ТГ о неполноте утверждает: если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует некоторая формула В, которую нельзя вывести в ФА, но и нельзя опровергнуть (т. е. вывести формулу ┐В).
Вторая теорема Гёделя утверждает, что этой формулой В из ТГ о неполноте может быть формула, содержательно утверждающая непротиворечивость формальной арифметики (благодаря специальным алгоритмам утверждение о непротиворечивости ФА можно выразить на языке ФА).

Теорема Гёделя о полноте, и особенно Теорема Гёделя о неполноте, имеют важное значение для философии математики.

Answer 2

"Теорема Гёделя о неполноте", подлиннее и поточнее: "Теорема Гёделя о полноте и непротиворечивости (формальной грамматики)"
Крупнейшее открытие мат. логики 20века. Замалчивается массмедией, т. к. из неё следует, что ВСЯ СУЩЕСТВУЮЩАЯ МАТЕМАТИКА НЕВЕРНА.
=
суть её в том, что линейный способ описания связей между объектами - неверен, т. к. ОБЯЗАТЕЛЬНО приводит к противоречию, либо недоказуемости описываемых (изучаемых объектов).
всю атомарную совокупность объектов Гёдель называл алфавитом, правила построения более сложных объектов (высказываний) - грамматикой. Грамматику с только линейными связями называл формальной.
"Теорема Гёделя о полноте и непротиворечивости" звучит как: "Любая формальная грамматика либо - неполна, либо - противоречива", что означает:
как бы мы ни выбирали способы описания, НО при линейно - логическом описании мира либо получим противоречие (ложную систему описаний), либо система описаний будет неполна (содержит недоказуемые объекты)
==
на начальном этапе, в попытке познать мир, мозг внутри себя для изучения строит модель мира на основе линейных (логических) связей: из этого вытекает то, из того - ещё что - то и т. д., но ВДРУГ выясняется, что эта линейная последовательность может замыкаться в кольцо - тогда все рушится (первична курица, или - яйцо=?, может ли всемогущий создать такой камень, что сам не сможет сдвинуть и т. д.).
===
при более пристальном (в т. ч. математическом) изучении выясняется, что никакой это не "циркулюс вациозус", и что в реальном мире существуют именно И ТОЛЬКО логические кольца - т. е. мир состоит из объектов, являющихся причиной самих себя, а наши логическое блуждания "от этого к тому" - просто недостаточно последовательны, чтобы обнаружить логическую зацикленность изучаемых объектов.
====
поск. ВСЯ математика строилась на основании линейных рассуждений о свойствах (связях между) объектов, то вся она противоречива, т. е - неверна.
и все линейные рассуждения - будь то логические, или какое - либо другие, - также неверны: иди по этой цепочке - докажешь, что утверждение истинно, иди по другой - то же утверждение окажется ложным.
шуточный пример: чай долго остывает | чай долго не остывает: и прямое и обратное высказывания истинны (т. е. верно и само высказывание и его отрицание)
p.s.
Гёдель развил свое открытие и показал, что для непротиворечивых рассуждений (в т. ч. для построения непротиворечивой математики) нужно пользоваться самозаколькцованными (рекурсивными) объектами и функциями и что обычные функции являются подмножеством функций рекурсивных, но я не специалист в этой области и с дальнейшим затрудняюсь.
p.p.s.
извините, но объяснить яснее и проще не могу