Как правильно писать - предыстория или предистория?

Проверочные слова здесь не при чём, есть правило: после приставок, оканчивающихся на согласную, вместо И пишется Ы. Но это правило распространяется только на приставки русского происхождения, после контр-, супер-, транс- и др. пишется И. Также следует отличать слова с приставкой от сложносокращённых слов, первая часть которых оканчивается на согласную, в них тоже пишется И, спортинвентарь, например.