Можно ли подать документы на визу, если старая виза еще действийтельна?

Если подаете на финский шенген, то вам автоматически аннулируют эту визу.

Да, можно. При этом не всегда старая виза аннулируется, зависит от конкретного консульства. Поэтому данный вопрос лучше задавать не на мейл ответах, а позвонив в консульство

Да, Вы можете подаваться сейчас, например, если планируете ехать 5го и быть там неделю, а виза у Вас действующая заканчивается 7го.
Нет, визы не аннулируют, а ставят следующую визу, начиная со следующего дня. Т. е. две визы одного типа в паспорте на одну дату находиться не могут, следовательно, нужно, чтобы даты не пересекались. Т. е. новую визу Вам должны поставить с 8го числа.
В этом случае Вы будете въезжать в страну по старой действующей визе, а выезжать уже по новой.
Я только недавно въезжал именно так, только было еще несколько веселее. Виза была в паспорте Чешская, а подавался я Нидерланды, так как ехал в Амстердам. В итоге, въехал по одной (на ней поставили штапм въезда), выехал по второй (офицер проверил штамп на первой).

можете. Старую визу вам аннулируют при оформлении новой. Никаких заявлений писать не надо.