Можно ли продать приватизированную квартиру в которой прописан ребенок 16 лет?

Кто там прописан, не важно. Важно то, кто владелец. Он может со своей собственностью делать что хочет.

Владелец имеет право продать свою квартиру в любой момент. А все кто жили в этой квартире пусть что хотят то и делают дальше. От их мнения тут ничего не зависит.

Если ни мать, ни ребёнок не являются собственником, то продадут без всяких проблем. Проблема при продаже будет, если только мать, дав согласию на приватизацию, от своей доли отказалась - в этом случае, даже новый собственник не сможет её выселить (и ребёнка тоже, пока ему 18 лет не исполнится).

Могут. Просто если ребенок не просто зарегистрирован в квартире, но и является собственником, то такая сделка должна быть одобрена органами Опеки и на имя ребенка должна быть куплена другая недвижимость не меньшего размера и не худшего качества.