Доказать, что число lg3 иррациональное

Предположим противное: lg 3 = m/n, где m, n — целые числа. Поскольку lg 3 > 0, то m и n можно выбрать положительными (натуральными) .

Потенцируя по основанию 10, получаем:
3 = 10^(m/n),
или, возводя в степень n:
3^n = 10^m = 2^m•5^m.
В левой и правой частях стоит одно и то же натуральное число, представленное в виде двух различных разложений на простые множители.
Полученное противоречие с основной теоремой арифметики доказывает утверждение.