Почему мощность континуума выше мощности счётного бесконечного множества?
Все расстояния - от одного из концов отрезка до каждой из его точек - разные, потому что безразмерные точки могут поместиться в одномерном отрезке только в один ряд. Если за единицу измерения каждого из этих расстояний принять одну и ту же величину, например, весь отрезок, то в соответствующем множеству точек отрезка множестве чисел все числа будут также разными. Тогда всё множество этих чисел можно выстроить в строгую последовательность в порядке их возрастания... либо убывания. Каждая из этих двух последовательностей будет точно соответствовать последовательности положения точек, находящихся в отрезке в порядке увеличения либо уменьшения расстояния от каждой из точек до одного из концов отрезка.
Если практически не найден способ самой последовательности нумерации трансцендентных чисел, то существует строгая последовательность возрастания самих этих чисел, также, как и строгая последовательность положения точек в отрезке, также, как и строгая последовательность возрастания множества натуральных чисел. Теоретически, каковы причины считать мощность континуума выше мощности счётного бесконечного множества?
Если есть ошибка в таком рассуждении, то буду очень признателен, если кто-нибудь укажет, в чём именно она.
По возможности, прошу объяснить простым доступным языком, с помощью логического рассуждения (я не математик, но попытаюсь понять).
Благодарю заранее!
Доказано ли, что способа нумерации вещественных чисел не может быть?
Теоретически, например, каждый раз деля отрезок при последовательности нумерации счётного множества рациональных чисел - между любыми двумя соседними числами в самой последовательности этой нумерации также обозначать точку в таком месте, чтобы отношение расстояния между этими соседними числами к расстоянию от одного из этих чисел до этой точки равнялось бы отношению, например, окружности к диаметру?
диагональный метод Кантора ;)
Вы сами сопоставили точки с вещественными числами, осталось только доказать, что вещественные числа не поддаются пересчёту. А указанным методом это сделать очень просто:
Допустим, что мы смогли пересчитать все вещественные числа от 0 до 1. Раз так, значит мы можем расположить их в один столбик в соответствии с их номерами. А раз это все вещественные числа, то мы принципиально должны быть неспособны построить такое число, которого нет среди уже записанных нами.
Давайте проделаем следующий трюк: построим новое число, взяв первую цифру после запятой из первого числа и прибавив к ней единицу, вторую цифру из второго + 1, третью из третьего + 1 и т. д.
В итоге мы построим такое число, которое будет отличаться от любого из имеющихся по меньшей мере одной цифрой (которую мы взяли из имеющегося числа, прибавили единицу и вставили в новое число на ту же позицию). Но если бы мы пересчитали все числа, то, как я писал ранее, у нас бы не получилось построить новое число. А значит мы пересчитали их не все, и множество вещественных чисел не является счётным.
"практически не найден способ самой последовательности нумерации" - собственно, это и ответ.
больше того, этот способ не только не найден, но и не может быть найден.
то, что вещественные числа упорядочены, не делает их счетным множеством.
Ошибка есть: выстраивание в ряд - ни точек, ни соответствующих им вещественных чисел - невозможно. Какие бы два числа (точки) мы ни взяли, всегда можно между ними вставить промежуточное.
Если исходить из позиции, что последовательность вещественных чисел действительно существует, значит и ряд точек, образующих непрерывный континуум, тоже есть, не зависимо от того, что мы не можем обозначить или рассмотреть каждый элемент этого ряда.