Повышают коллегу без профильного образования. Стоит ли идти разбираться с руководством или могут уволить?

с чем разбираться-то? у вас есть право диктовать руководителю кого повышать, а кого - нет? кому предложить повышение решает начальство, а не рядовые сотрудники и от образования ничего не зависит. если вы считаете, что ваше мнение просто обязаны учесть, то, конечно, идите устройте начальству разборки, выговор объявите, объясните, что они не правы. может быть и придется новую работу искать, зато свое "фи" руководству выскажете.

А Вам что с того? Хотите свою кандидатуру предложить? Руководство- не дураки, поэтому если сотрудника повышают, значит он достойно себя зарекомендовал и без профильного образования.

не могут, а обязаны уволить.

только в том случае, если Вы соучредитель компании или акционер

Когда уже граждане поймут, что руководящие должности раздают по принципу личного доверия, а не компетенции.
Человек на шлагбауме должен быть надёжный. Чтобы помогал пилить и не задавал вопросов. Полностью подконтрольный в т. ч. ввиду непрофессионализма.