найти наклон касательной y=3x^2+5, в точке (2;3)

Уравнение касательной, проходящей через точку (2;3) y=y'(2)•(х-2)+3=12х-21.
Тангенс угла её наклона равен коэффициенту 12, а сам угол наклона arctg12≈85°14'10,89''

Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:

f'(x0)= tgφ=k

1. Найдем формулу производной функции f(x)=3*x^2+5;
f'(x)=6х
2. Вычислим f'(x0)
f'(x0)=6*х0=6*2=12 при x0=2
f'(x0)=6*х0=6*3=18 при x0=3
3. f'(x0)= tgφ=k следовательно
tgφ=12 при x0=2, а значит φ=arctg(12) примерно равно 85 градусов
tgφ=18 при x0=3, а значит φ=arctg(18) примерно равно 86,8 градусов

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0
​​
y=f'(x0)⋅(x−x0)+f(x0)

Задача: Найти уравнение касательной для f(x)=3*x^2+5; при x0=2; при x0=3

1. Вычислим f(x0)
f(x0)=f(2)=3*x0^2+5=3*2^2+5=3*4+5=12+5=17 при x0=2
f(x0)=f(3)=3*x0^2+5=3*3^2+5=3*9+5=27+5=32 при x0=3
2. Найдем формулу производной функции f(x)=3*x^2+5;
f'(x)=6х
3. Вычислим f'(x0)
f'(x0)=6*х0=6*2=12 при x0=2
f'(x0)=6*х0=6*3=18 при x0=3
4. Подставим в уравнение касательной y=f'(x0)⋅(x−x0)+f(x0) значения f'(x0), f(x0), x0
y=f'(x0)⋅(x−x0)+f(x0)=12*(x-2)+17=12x-24+17=12x-7 при x0=2
y=f'(x0)⋅(x−x0)+f(x0)=18*(x-3)+32=18x-54+32=18x-22 при x0=3