Какое спряжение у глагола "бежали"?

Соглашусь только с последним ответом, который появился уже после того, как я написала почти весь свой ответ, поэтому мне пришлось немного изменить его начало.

Глагол БЕЖАЛИ (начальная форма – БЕЖАТЬ) не относится ни к 1-му, ни ко 2-му спряжению, это видно по его УДАРНЫМ личным окончаниям:

1 лицо я бегу, мы бежИМ
2 лицо ты бежИШЬ, вы бежИТЕ
3 лицо он бежИТ, они бегУТ

Для определения спряжения глаголов с ударными личными окончаниями вовсе не важно, на -ИТЬ или не на -ИТЬ они оканчиваются в инфинитиве. Их тип спряжения определяется по ударным личным окончаниям, кроме окончаний 1-го лица единственного числа, которые у глаголов 1-го и 2-го спряжения одинаковые.

У глагола БЕЖАТЬ почти все личные окончания 2-го спряжения (гласная И под ударением), а окончание 3-го лица множественного числа -УТ не позволяет нам причислить этот глагол ко 2-му спряжению, так как это окончание 1-го спряжения.

Глаголы, которые в разных формах имеют окончания разных типов спряжения, называются РАЗНОСПРЯГАЕМЫМИ.

Глагол БЕЖАЛИ (БЕЖАТЬ) является РАЗНОСПРЯГАЕМЫМ.