Годится ли ветка шелковицы (тута) для жердочки попугаю?

Пойдет. Попугаю все равно где сидеть.

конечно

подойдет... Главное - деревянная, не пластик

Подойдет. Посмотрите список разрешенных/запрещенных древесных пород
forum.volnistye.ru/viewtopic.php?t=38

Не знаю, не уверен. Тутовник родственник фикусовых. А попугаю надо какую то ветку которую можно грызть- а кору так они просто- объедают! Ива, яблоня, абрикос, вишня - за эти- ручаюсь...
А дальше- решать Вам.