Происхождение этой поговорки уходит своими корнями глубоко в историю России, в те времена, самым перспективным источником энергии были дрова, и поэтому, чтобы отопить своё жилище, люди их активно заготавливали. Иногда, полено бывает такое огромное, что его можно расщепить только при помощи деревянного клина, и тогда в щель оставленную от топора, начинают забивать треугольную деревяшку. Однако, если и клин завяз в дереве, то берут ещё один, чтобы достать застрявший.
Клин клином вышибают - означает последствия какого-нибудь действия или состояния устраняют теми же средствами, которые это действие или состояние вызвали.
Обычно эту поговорку произносят с одобрением, если человек полагает, что его действие способно привести к нужному результату, с иронией или неодобрением, если говорящий считает, что это действие принесёт ещё больше проблем к уже имеющимся.
У англичан имеется похожая поговорка "один гвоздь выбивает другой" (One nail drives out another).
Во Франции также имеется аналог данной пословицы "гвоздь выбивают другим гвоздём" (Гвоздь выбивают другим гвоздём).