Нужно ли писать в данном случае имя "Кондратий" с большой буквы?

Здесь нет, так как это сленговое выражение. Тут кондратий пишется в кавычках

Конечно, можно!
"После этого Кондратий хватил рюмку водки, потом ещё одну"...

Конкретно в данном случае - тока с бальшой буквицы. Почему? Потомучо перед словом "кондратий" ничо не написано. сталобыть - начало предложения...
Я ваще этим приёмом частенько в школе пользовался. Коли не ведаю с какой буквицы писать - ставил в начало предложения. Тут ужо никак не опростоволосисси...