Как находить ОДЗ для тригонометрических уравнений и когда вообще надо искать ОДЗ?

в твоем примере не нужно искать ОДЗ. одз, грубо говоря, -это значения, которые может принимать Х.
здесь он может принимать любые значения.
пример, нужно найти корень уравнения (sin(x)-1)/cos(x) = 0.
ОДЗ : cos(x) не равно 0 (на ноль делить нельзя). и считаешь все точки при котором он равен нулю (pi/2 и -pi/2).
если заранее не найти ОДЗ, то мы бы решали уравнение sin(x) - 1 = 0 и в ответе бы получили точку x=pi/2 . но так как мы нашли ОДЗ и по нему в этой точке знаменатель будет равен нулю, то это решение нам не подходит.
может, не самый лучший пример, но как-то так