Если две прямые на плоскости параллельны, то они пересекаются?

Обычно считают, что нет.
Однако есть и другой вариант.
"В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными".(Википедия)
"В евклидовой геометрии пересечение двух прямых может быть пустым множеством, точкой или прямой". (Википедия)
Рассмотреть случай, когда 2 прямые совпадают. Из другого варианта определения следует, что такие прямые параллельны. Ну, и нетрудно заметить, что эти прямые пересекаются (во всех своих точках, т. е. их пересечение - прямая).
Вывод: если 2 прямые на плоскости параллельны и пересекаются, то они могут совпадать.