"тоже" - какая часть речи???

Если слитно писать, то согласна с предыдущим ответом, сочинительный союз. Например: Я тоже так думаю.
Ещё возможен вариант, что это частица. Например: Тоже мне выдумал!
А если "то же", тогда это местоимение и частица. Например: Состояние больного сегодня то же, что и вчера.
Всё зависит от контекста.

В школьном курсе "тоже" для простоты относят к
сочинительным союзам.

Однако, строго говоря, "тоже" (как и "также") - это не
совсем союз, а присоединительная частица союзного типа.
На это указывает, например, В. В. Виноградов в классическом
труде "Русский язык. Грамматическое учение о слове".
Примерно так же характеризуются эти слова в справке
Института русского языка:
http://rusgram.narod.ru/1689-1705.html#1699 (§ 1690).

"Тоже" в сочетаниях типа "тоже мне ..." - это уже модальная
частица.

сочинительный союз. Всё зависит от предложения

Тоже-союз

Слово ТОЖЕ может быть таким частями речи, как:
Наречие: Одеяло мне тоже не надо.
Союз в составе сложносочиненного предложения, обозначает равноправность действий: Я пошла спать, он тоже долго не стал сидеть за компьютером.
Усилительная частица, употребляется с МНЕ: Тоже мне мастер на все руки нашелся!

союз сочинительный

Слово тоже - это наречие, сочинительный союз или усилительная частица